به عنوان مثال اگر بخواهید بدانید که ستاره ای مانند خورشید تحمل یا ظرفیت پذیرش چقدر ماده اضافه را دارد پیش از آنکه تحت اثر گرانش خود مچاله و نهایتا به یک سیاهچاله تبدیل شود می توانید معادلات فضازمان خمیده اینشتین را حل کرده و به یک فرمول ساده برسید که به افتخار کاشف آن هانس آدولف "بوچل" نام گذاری شده است. این فرمول نشان می دهد که حجم کروی خورشید حداکثر جرم-انرژی که می تواند داشته باشد چقدر است اگر بخواهیم در وضعیت ایستا یا پایدار بماند و مچاله و جمع نشود:
Buchdahl’s Theorem
M(max)=4/9*R/G*c^2
با محاسبه مقادیر عددی متوجه می شویم که کره خورشید با همین شعاع کنونی به اندازه دویست هزار برابر خودش جا دارد که پرجرم تر شود و با این حال تحت اثر گرانش ذرات درونش مچاله نشود.
R=696,342,000
G=6.67384E-11
c=299,792,458
M(max)=4E+35
M(Sun)=2E+30
M(max)/M(Sun)=200,000
جهان انسان ها بر روی کره زمین اما برخلاف ظاهر ساده اش می تواند فوق العاده پیچیده باشد.
به عنوان مثال اگر بخواهید بدانید که زمین تحمل یا ظرفیت پذیرش چقدر جمعیت اضافه را دارد پیش از آنکه تحت اثر زندگی آنها فروپاشیده و نهایتا به یک خرابه تمام عیار تبدیل شود نمی توانید هیچ معادله ساده ای را کشف و حل کنید.
از زمان مالتوس که نگرشی بد بینانه به افزایش تصاعدی جمعیت در برابر منابع محدود داشت تا زمان انتشار کتاب معروف "محدویت های رشد" توسط باشگاه رم با استفاده از مدل های دینامیک سیستم های ام آی تی، همه متخصصان تلاش کرده اند که بفهمند حداکثر توان تحمل جمعیتی زمین چند میلیارد نفر است و هشدارهای لازم را به موقع بدهند.
افراد خوش بین البته معتقدند که جمعیت بیشتر به معنی مغزهای بیشتر و "امکانات تولید" بیشتر برای حفظ نرخ رشد اقتصادی و بنابراین حل سریع تر معضلات بشری است و نه لزوما افزایش آنها. به هر حال، امروزه یکی از شاخص های بسیار مهم که توسط آینده پژوهان حرفه ای پایش می شود جمعیت کره زمین و سقف برآوردهای مرتبط با آن است. البته طبیعت انسان با نیازهای محدود و خواسته های نامحدود به علاوه ارزش های متغیر در طی تاریخ تمدن اش همه تلاش ها برای فهم رابطه بین جمعیت بیشتر و فشار بیشتر به منابع محدود زمین را بی نتیجه می کند.
اداره مرجع پیش بینی جمعیت زمین PRB.org در برآوردهای خود برای جمعیت آینده کره زمین در سال 2050 مرتبا پیش بینی ها را با توجه به افزایش کیفیت مراقبت های سلامت ونرخ زاد وولد به سمت بالا تصحیح می کند. در گزارش سال 2003 برآورد سال 2050 برحسب محاسبات 9.198 میلیارد نفر، در سال 2008 برآورد 9.352 میلیارد نفر، و نهایتا در سال 2013 برآورد اعلام شده 9.727 میلیارد نفر بود. بعید نیست که به زودی برآورد اصلاح شده به عدد 10 میلیارد نفر هم برسد.
اما موضوع دارای عدم قطعیت بالا این است که واقعا حداکثر ظرفیت تحمل کره زمین چند میلیارد نفر است؟ آیا ازدحام بیشتر قطعا منجر به نابودی زمین می شود یا برعکس مقدمات نجات زمین یا بهتر است بگوییم نجات از زمین و حضور در سایر کرات آسمانی را فراهم می سازد؟